[사이언스칼럼] 자연은 위대한 수학자

인공지능을 이용한 기술들이 자율주행차량, 드론을 이용한 택배, 로봇의료시술 등 우리 생활의 많은 부분에서 인간을 대신하고 또 효과적으로 업무를 수행하고 있으며, 그 대체범위는 갈수록 확산되고 있다. 이렇게 인공지능을 적용한 기술이 광범위하게 적용되는 이유는 인공지능을 통하여 대량의 데이터로부터 얻고자 하는 정보의 패턴이나 경향을 신속하고도 정확하게 찾을 수 있기 때문이다. 즉 인공지능을 통해서 최적화 문제를 신속하고 효율적으로 해결할 수 있기 때문이다. 여기서 최적화 문제란 지도 위에서 두 장소를 최소거리나 최단거리로 이동하는 경로를 찾거나, 최소의 경비나 에너지를 이용하여 효과적으로 해결하는 방법을 찾고자 할 때 등, 주어진 조건에서 가장 알맞은 방법, 즉 최적의 해답을 찾는 것이다.

그런데 자연은 최적화에 대하여 잘 학습되어, 우리는 자연의 관찰을 통해서 많은 문제의 답을 얻는 경우가 많다. 이와 관련하여 몇가지 사례를 소개하면 다음과 같다.

(1) 높이가 다른 두 지점을 가장 빨리 통과하는 경로: 높이가 다른 두 지점을 가장 빨리 이동하는 경로는 두 점을 연결한 곡선 들 중 선분이 가장 짧기에 선분처럼 여겨지지만 실제로는 선분이 아닌 곡선 형태를 취하며 이 곡선을 등시선이라 한다. 비록 거리는 선분이 가장 짧지만 중력의 영향 때문에 곡선의 형태로 이동하는 것이 시간적으론 보다 더 빨리 이동한다. 독수리가 땅 위의 토끼를 사냥할 때 바로 토끼에게로 향하지 않고 먼저 수직하강한 후 토끼에게 날아가는 것을 관찰하고 그 이유를 연구하여 알아내었다. 옛날 조상들이 기와집을 만들 때, 지붕 위의 물이 머무르는 시간을 최소화하기 위하여 등시선형태를 취하였다. 등시선의 성질로는 두 점 사이의 어떠한 점에서 출발하더라도 항상 도착시간은 같다.

(2) 주어진 면적으로 최대의 부피를 만드는 모양: 수학에서 오래된 문제 중의 하나는 주어진 곁면적을 가지고 최대의 부피를 갖는 도형을 찾는 문제였는데, 이는 최소한 재료를 이용하여 최대한 많은 양의 내용을 담을 수 있기 때문이다 그런데 그 해답은 구(축구공모양)이다. 하지만 수학자가 이 문제를 해결하기 이전에 자연은 이미 그 해답을 사용하고 있었다. 수박 등 과일은 표피로부터 수분 증발을 최대한 막으며 될수록 많은 내용물을 포함할 수 있는 있는 형태로 그 열매를 맺어야 최대한의 효율을 얻는다. 그래서 사과나 배, 수박 등 대부분의 과일은 구모양을 취하고 있다. 비슷한 문제로 주어진 길이를 가지고 내부면적이 최대가 되는 2차원 도형을 찾는 문제가 있는데, 19세기에 독일 수학자 Weierstrass에 의해서 완전하게 해결되었다. 이 수학자 이전에도 많은 이들이 원이 해임을 주장하였지만 풀이를 인정받지 못한 이유는 그들은 단지 원을 제외한 그 어떠한 도형도 해답이 될 수 없음을 보였기 때문이다. 수학에서 해의 존재성을 밝히는 것은 해를 구하는 것만큼 중요한 문제인데 이들은 존재성을 보이지 못했으며, 독일 수학자가 비로소 그 해는 존재하며 그것은 원임을 보임으로서 그 해결을 인정받게 되었다.

(3) 주어진 공간에 최다의 씨앗을 담는 방법: 주어진 공간을 최적으로 활용하는 문제로 솔방울이나 해바라기처럼 씨앗을 나선형으로 배열하면 최다의 씨앗을 담을 수 있다. 이는 동물의 뿔이나 파도의 형태가 에너지 효율을 극대화하는 나선형 모양을 취하는 이유이며, 이를 수학적인 관점에서 보면 아름다움의 비율인 황금비율과 관련이 깊다. 또한 이 성장형태는 중력으로부터 최소한의 영향을 받으며 최대의 잎을 가지기 위해서 나무가 가지들을 만들어내는 방법과도 관련이 깊다.

이렇듯 과학에서의 최적화문제는 자연에 그 해답이 존재하는 경우가 많으며, 이는 자연계에 존재하는 것들은 상황이나 환경에 최적의 형태로 진화하기 때문이다. /윤강준 국가수리과학연구소 수학원리응용팀 박사